Introduction
La théorie de Mandelbrot a autant apportée aux mathématiques qu’a la perception de structures fractales dans la nature. La nature cache un grand nombre de plantes ayant des formes irrégulières et ayant les caractéristiques d’auto-similarité. On peut ainsi les classée dans la catégorie des fractales. De plus les cotes rocheuses ou encore les réseaux hydrographiques sont considérés comme fractales.
La fougère
La fougère fait partie des fractales naturelles. Mais celle-ci n’est pas considérée comme une fractale parfaite puisque leur complexité s’arrête au niveau de l’atome et non pas dans l’infiniment petit. De même pour l’infiniment grand. Cette fractale est donc limitée. La structure se répète ici à plusieurs niveaux, à chaque étape on retrouve la même structure, celle globale de la feuille. A chaque agrandissement sur une partie de la fougère on retrouve la fougère toute entière avec bien sur quelques légères modifications. Nous voyons que la tige centrale se ramifie en branches plus petites qui se ramifient à leur tour et ainsi de suite, avec chaque fois une réduction d’échelle.
Mathématiquement, en utilisant un ensemble de fonctions simples itérées un grand nombre de fois. On peut obtenir des images de fougères très réalistes. Selon ce principe, on peut simuler la croissance de nombreux végétaux ce qui donne des images difficiles à distinguer de véritables photographie. Grâce à la définition des fractales et leurs propriétés, on sait que les itérations se font à l'infini cependant, il faut tenir compte des limites de la nature. La modélisation de la fougère va donc se faire avec un programme qui répète le même motif un grand nombre de fois et à des tailles différentes. Cette technique a été inventée par Aristid Lindenmayer, qui fut l'un des premiers à s'apercevoir que la nature comportait des formes répétitives à différentes échelles. On la nomme technique des L-Systèmes. Voici une fougère fractale modélisée en utilisant un système de fonctions itérées. On remarque que la ressemblance est assez trompeuse.
L'arbre
La structure d’un arbre offre une surface très grande permettant d’optimiser le processus de photosynthèse sans que l’arbre n’ait à augmenter en volume. De la même façon, le réseau des racines possède une forme fractale qui favorise l’absorption de l’eau et des minéraux dans le sol. Schématisons dans un premier lieu la croissance d’un arbre :
Nous avons fait ces schémas en utilisant la méthode fractale, et donc en itérant la forme de l’arbre sur chacune de ses nouvelles branches. Le modèle semble réaliste. Voici une photo d’un arbre, on peut voir qu’il y a de très grandes similitudes.
Remarque : L’environnement fera bien entendu varier ce modèle que nous présentons, mais admettons qu’il s’agisse toutefois d’une sorte de matrice de base de la croissance d’un arbre.
Mais comment se fait-il que les branches reprennent l’allure générale qu’avait l’arbre ? Une réponse simple peut être apportée. Les hormones de croissance sont sécrétées à l’extrémité de chaque branche, et donc pour une branche ou pour l’autre, ou même pour le tronc du tout jeune arbre, la quantité de ces hormones est répartie de la même façon. Or, la pousse des nouvelles branches est déterminée par la quantité d’hormone reçue. Ainsi, chaque nouvelle branche prend la forme de celle dont elle est issue. Le même modèle est donc réitéré à différentes échelles.
D’où nous pouvons déduire que cet arbre ainsi que beaucoup d’autres, croit sur un modèle fractal.
Un groupe de scientifique ont tenté de prouver que la structure fractale d’un seul arbre peut renseigner sur le comportement d’une forêt tropicale toute entière. La forêt tropicale joue un rôle essentiel dans la régulation du climat absorbant le co2 de l’atmosphère. La forêt respire, et si on arrive à connaitre la quantité de co2 qui est absorbé par ces arbres, on pourra mieux comprendre comment la forêt régule le taux de co2 de l’atmosphère. La géométrie fractale pourrait répondre à cette question.
Un groupe de scientifiques vont tenter de prouver cette thèse :
Un membre du groupe a abattu un arbre provenant d’une forêt pour le mesurer, et le reste de l’équipe mesure le diamètre et la longueur des branches pour quantifier leur structure fractale. Il mesure ensuite la teneur en carbone d’une feuille pour ensuite calculer ce que l’arbre entier peut absorber.
Si on sait quelle quantité de carbone qu’une feuille peut absorber grâce à la loi fractale de la division on doit pouvoir connaitre la quantité totale de co2 que l’arbre peut absorber. L’étape suivant consiste à passer de l’arbre à la forêt toute entier. Le groupe à en quelques sortes inventorier la forêt en mesurant le diamètre d’une grande quantité d’arbre, cela pour établir des statistiques sur la distribution des arbres par tailles dans la forêt. L’aspect de la forêt peut sembler aléatoire et chaotique, mais l’équipe pense qu’elle obéit à une structure fractale pratiquement identique à celle de l’arbre qu’ils ont abattu. En termes de taille, il semblerait que la distribution des arbres dans la forêt correspond exactement à celle des branches sur l’arbre. Une fois le travail sur le terrain terminé, ils ont examiné les données relevées pour voir si elles corroborent leur théorie, et ils ont découvert que pour la répartition des arbres on retrouve le même schéma pour les branches que pour les troncs, comme ils le soupçonnaient. Les tracés des différents relevés effectués sur le terrain, sont parallèles ce qui signifie que la courbe de points représentant la structure de l’arbre et la même que celle de la forêt. Les mesures prisent sur le terrain semblent confirmer leur thèse. L’analyse des structures fractales de la forêt ouvre de nouvelles possibilités, on peut établir une formule mathématique qui permet de savoir dans quelle mesure l’ensemble de cet écosystème absorbe le co2 et peut-être à terme, d’anticiper les effets du réchauffement planétaire. Des générations entières de scientifiques qui étaient persuadés que les formes irrégulières de la nature ne pouvait pas être définies mathématiquement mais la géométrie fractale à permit de comprendre qu’elles obéissaient à un ordre sous jacent et à des lois mathématiques. La structure de la forêt peut-être cartographié et mesuré grâce à la géométrie fractale. On peut traduire ce qu’on voit dans la nature en un langage mathématique. Et les maths sont les seuls moyens de comprendre la complexité de la nature.
La croissance d’une plante s’accompagne nécessairement d’un changement de forme. En effet, les plantes essaient d’adopter une forme qui s’éloigne le plus possible d’une sphère, car si elles étaient trop volumineuses, c'est-à-dire massiques, elles seraient trop lourdes et perdraient beaucoup trop d’énergie pour pouvoir survivre. A mesure que la plante poursuit sa croissance, apparait la nécessité d’une ramification aérienne et souterraine, qui donne accès à l’espace tridimensionnel sans les inconvénients liés au volume ; la plante s’approprie l’espace en le remplissant d’une surface complexe finement repliée sur elle-même. La croissance de la plante va aussi être régie par les contraintes du milieu extérieur qui sont souvent les mêmes à différentes échelles.
Mais comment se fait-il que les branches reprennent l’allure générale qu’avait l’arbre ? Une réponse simple peut être apportée. Les hormones de croissance sont sécrétées à l’extrémité de chaque branche, et donc pour une branche ou pour l’autre, ou même pour le tronc du tout jeune arbre, la quantité de ces hormones est répartie de la même façon. Or, la pousse des nouvelles branches est déterminée par la quantité d’hormone reçue. Ainsi, chaque nouvelle branche prend la forme de celle dont elle est issue. Le même modèle est donc réitéré à différentes échelles.
D’où nous pouvons déduire que cet arbre ainsi que beaucoup d’autres, croit sur un modèle fractal.
Un groupe de scientifique ont tenté de prouver que la structure fractale d’un seul arbre peut renseigner sur le comportement d’une forêt tropicale toute entière. La forêt tropicale joue un rôle essentiel dans la régulation du climat absorbant le co2 de l’atmosphère. La forêt respire, et si on arrive à connaitre la quantité de co2 qui est absorbé par ces arbres, on pourra mieux comprendre comment la forêt régule le taux de co2 de l’atmosphère. La géométrie fractale pourrait répondre à cette question.
Un groupe de scientifiques vont tenter de prouver cette thèse :
Un membre du groupe a abattu un arbre provenant d’une forêt pour le mesurer, et le reste de l’équipe mesure le diamètre et la longueur des branches pour quantifier leur structure fractale. Il mesure ensuite la teneur en carbone d’une feuille pour ensuite calculer ce que l’arbre entier peut absorber.
Si on sait quelle quantité de carbone qu’une feuille peut absorber grâce à la loi fractale de la division on doit pouvoir connaitre la quantité totale de co2 que l’arbre peut absorber. L’étape suivant consiste à passer de l’arbre à la forêt toute entier. Le groupe à en quelques sortes inventorier la forêt en mesurant le diamètre d’une grande quantité d’arbre, cela pour établir des statistiques sur la distribution des arbres par tailles dans la forêt. L’aspect de la forêt peut sembler aléatoire et chaotique, mais l’équipe pense qu’elle obéit à une structure fractale pratiquement identique à celle de l’arbre qu’ils ont abattu. En termes de taille, il semblerait que la distribution des arbres dans la forêt correspond exactement à celle des branches sur l’arbre. Une fois le travail sur le terrain terminé, ils ont examiné les données relevées pour voir si elles corroborent leur théorie, et ils ont découvert que pour la répartition des arbres on retrouve le même schéma pour les branches que pour les troncs, comme ils le soupçonnaient. Les tracés des différents relevés effectués sur le terrain, sont parallèles ce qui signifie que la courbe de points représentant la structure de l’arbre et la même que celle de la forêt. Les mesures prisent sur le terrain semblent confirmer leur thèse. L’analyse des structures fractales de la forêt ouvre de nouvelles possibilités, on peut établir une formule mathématique qui permet de savoir dans quelle mesure l’ensemble de cet écosystème absorbe le co2 et peut-être à terme, d’anticiper les effets du réchauffement planétaire. Des générations entières de scientifiques qui étaient persuadés que les formes irrégulières de la nature ne pouvait pas être définies mathématiquement mais la géométrie fractale à permit de comprendre qu’elles obéissaient à un ordre sous jacent et à des lois mathématiques. La structure de la forêt peut-être cartographié et mesuré grâce à la géométrie fractale. On peut traduire ce qu’on voit dans la nature en un langage mathématique. Et les maths sont les seuls moyens de comprendre la complexité de la nature.
La croissance d’une plante s’accompagne nécessairement d’un changement de forme. En effet, les plantes essaient d’adopter une forme qui s’éloigne le plus possible d’une sphère, car si elles étaient trop volumineuses, c'est-à-dire massiques, elles seraient trop lourdes et perdraient beaucoup trop d’énergie pour pouvoir survivre. A mesure que la plante poursuit sa croissance, apparait la nécessité d’une ramification aérienne et souterraine, qui donne accès à l’espace tridimensionnel sans les inconvénients liés au volume ; la plante s’approprie l’espace en le remplissant d’une surface complexe finement repliée sur elle-même. La croissance de la plante va aussi être régie par les contraintes du milieu extérieur qui sont souvent les mêmes à différentes échelles.
Chou fleur
En regardant un chou-fleur, on peut ainsi voir que chacun des morceaux plus petits ressemble à la forme du chou entier. Sa forme géométrique dite fractale est remarquable.
Lorsque on découpe le chou-fleur, on le casse au lieu de le couper, et ça donne plein de petits choux-fleurs, qui eux même peuvent donner d'autres plus petits choux-fleurs. Cette particularité d'auto similarité à différentes échelles fait du chou-fleur une fractales. En cassant le chou fleur, on observe une structure en branches principales qui se séparent en branches plus petites. La première division s’effectue sur la branche principale d'origine, et peut donner de 3 à 8 branches secondaires. De celles-ci, découleront d’autres branches. Cette division se reproduit de la même manière à chaque étage et sont proportionnellement similaires.
Chou Romanesco
Dans l'exemple du chou romanesco on remarque une organisation en tétraèdres qui se sépare en tétraèdres plus petits. Le chou romanesco est considéré comme un objet fractal et possède une autosimilarité. C’est l’un des plus beaux fractals que nous offre la nature.
Une expérience menée sur les fractales porte sur l‘avantage biologique du chou romanesco. A l’aide du logiciel ExAO, on a mesuré la quantité de dioxygéne et de Co2 durant 10 minutes, pour le chou romanesco et ensuite pour le chou sans ses parties fractales. Le chou fractal rejette une grande quantité d’O2 et absorbe beaucoup de CO2. Le chou coupé rejette également de l’O2 et absorbe du CO2, mais en quantités bien moindres.
Le chou fractal rejette une grande quantité d’O2 et absorbe beaucoup de CO2. Le chou coupé rejette également de l’O2 et absorbe du CO2, mais en quantités bien moindres,qui est du à l’activité photosynthétique du chou fractal qui est 5 fois plus élevé que le chou dénué de parties fractales. Ainsi, nous pouvons supposer que la surface d’échange du chou romanesco est plus grande, ce qui favorise les échanges gazeux et que notamment, la forme fractale de ce chou diminue sa respiration.
Le chou fractal rejette une grande quantité d’O2 et absorbe beaucoup de CO2. Le chou coupé rejette également de l’O2 et absorbe du CO2, mais en quantités bien moindres,qui est du à l’activité photosynthétique du chou fractal qui est 5 fois plus élevé que le chou dénué de parties fractales. Ainsi, nous pouvons supposer que la surface d’échange du chou romanesco est plus grande, ce qui favorise les échanges gazeux et que notamment, la forme fractale de ce chou diminue sa respiration.
Côte de la Bretagne
En 1975, Benoit Mandelbrot l'inventeur des fractales remarques que la cote de la Bretagne a pris naturellement au fil des temps une structure fractale. Ainsi, elle développe une propriété qui consiste à varier de longueur en fonction de l'échelle à laquelle on l'observe, plus on se rapprochera de la cote, plus la longueur augmentera, la cote Bretagne a donc une propriété fractale :
Si l'on observe la côte de la Bretagne à l'échelle d’un satellite européen, on ne distingue guère plus qu'une avancée de Terre dans l'Océan Atlantique de forme plus ou moins rectangulaire.
Si le satellite se focalise sur la France seulement, on commence à voir des rebords plus précis, les fractionnements dans le périmètre perçus par le satellite sont plus importants.
Si maintenant, nous montons a bord d’un avion et que nous longions la cote. On remarque que celle-ci est beaucoup plus fracturée qu'à l'échelle précédente car on distingue à présent les golfes.
Si on mesure maintenant la côte de la Bretagne en la longeant à pied, on notera de nombreuses petites criques invisibles depuis un avion ou un satellite. La côte ainsi mesurée est encore plus fracturée et donc le périmètre est plus long.
Si l’idée folle nous prend de mesuré la cote avec une loupe, il faudrait longer la côte en longeant chaque grain de sable. Les criques que nous avons vues plus haut se répètent à cette échelle : même au niveau des grains les plus fins, la côte est fracturée. Encore une fois, après cette mesure, la côte se révèle encore plus dentelée et la mesure du périmètre tend vers l’infini.
À chaque nouvelle marée, la mer attaque la côte et la déforme plus ou moins. Les effets sont d'autant plus faibles que la forme de la côte est bien adaptée pour encaisser ce type de chocs. À long terme, la forme de la côte finit par épouser la forme qui optimise cette résistance ; cette forme est fractale. Sa structure fractale permet, que la surface de contact des ondes soit plus grande que la surface apparente. Les vagues qui percutent la côte se divisent alors en une multitude de petites vagues, car la côte est extrêmement fractionnée, qui sont chacune d'une intensité faible.
Réseau hydrographique
La propriété des objets fractals est aussi observable dans les réseaux hydrographiques. On distingue ainsi un type de réseau arborescent, où la rivière est alimentée par plusieurs cours d’eau, qui eux même sont alimentées par des cours d’eau plus important, tel qu’un lac, ou encore la mer. Des recherches ont été entreprises pour utiliser en modélisation cette caractéristique quantitative des bassins versants. Le caractère fractal reflète une invariance d’échelle qui se traduit par des lois de puissance. Le calcul d’indices hydro morphologique permet de dégager des grandeurs significatives portant sur la hiérarchie, la densité et la structure des réseaux, et de définir des types d’organisation de l’écoulement utiles en modélisation hydrologique. La nécessité de simuler le fonctionnement hydrologique de bassins sans détailler le fonctionnement hydraulique du réseau interne, permet de créer des modèles qui permettent de concevoir ce qu’est la morphologie d’un réseau telle que celle d’un réseau d’assainissement.
L’une des représentations fractales les plus fascinantes de réseau hydrographique se trouve au sud de la Norvège.
En voici une photo :
L’une des représentations fractales les plus fascinantes de réseau hydrographique se trouve au sud de la Norvège.
En voici une photo :
Conclusion
Ici encore, des caractéristiques fractales sont observables dans les objets naturels que nous venons d’analyser. Pourtant, il ne s’agit pas de fractales au sens du terme car celles-ci sont limités. On peut dire qu’il s’agit de fractales biologiques.