Dimension fractale
En géométrie euclidienne, les figures ont une dimension entière : 0 pour un point, 1 pour une courbe, 2 pour une surface et 3 pour un volume. En revanche, la dimension pour une fractale peut prendre des valeurs qui ne sont pas des nombres entiers. Il est impossible de désigner un point pour une fractale puisqu’on ne peut pas mesurer la longueur d’une fractale. Les fractales ont une dimension qui leur est propre, appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch appelé communément dimension fractale. Celle-ci se calcule par la formule :
Figures mathématiques fractales
Les courbes fractales sont les fractales les plus simples à représenter. Elles sont obtenues grâce à une construction géométrique. Ici encore, il en existe plusieurs sorte : celles obtenues grâce à un initiateur et à un générateur.
La plus connu des courbes de ce genre est le flocon ou courbe de Von Koch ; c'est à cette courbe que correspondent les figures ci dessus. Pour construire cette courbe, on débute avec un initiateur puis on remplace chaque segment de la figure par le générateur. Une étape de la construction va être appelée "itération", puisqu'on répète la même opération un certain nombre de fois.
Le triangle de Sierpinski illustré ci-dessous est obtenu avec au départ, un triangle équilatéral noir. Dans ce triangle, on évide un triangle équilatéral dont les sommets sont les milieux des arrêtes du premier triangle. Ceci nous donne trois triangles noirs équilatéraux plus petits avec lesquels on recommence le même processus qui peut se faire jusqu’à l’infini.
Même principe pour le carré de Sierpinski, il se fabrique en découpant le carré en neuf carrés égaux avec une grille de trois par trois, et en supprimant la pièce centrale, et en appliquant cette procédure indéfiniment aux huit carrés restants.
Théorie du Chaos
Chaos a été un mot très à la mode dans les milieux scientifiques durant la seconde moitié du XXème siècle. Depuis le fameux «effet papillon» d'Edward Lorenz qui affirme que le battement d'aile d'un papillon peut déclencher un cyclone sur un autre continent. La théorie du Chaos ouvre des domaines scientifiques inexplorés. Toutes les représentations d'équations se font habituellement en nous aidant de l’axe des x et des y, or celles-ci ont une particularité : elles ne comportent pas de "ruptures", ces courbes sont ce qu'on appelle linéaires : cela signifie que vous n'avez pas besoin de calculer tous les points pour connaître la forme de votre courbe. Pour les équations chaotiques, ceci est tout simplement impossible car la courbe n'est pas linéaire : chaque point n'est pas nécessairement relié au précédent. La distribution des points semble chaotique. Avant les théories du Chaos et les ordinateurs, la science ne pouvait traiter dans la nature que les phénomènes linéaires. Tout ce qui n'était pas linéaire était ignoré car était considéré comme trop complexe, imprévisible en raison des limites de la puissance de calcul de l'esprit humain. Or, ce dont on se rend compte actuellement, c'est que les phénomènes linéaires dans la nature sont très probablement bien moins nombreux que les phénomènes non-linéaires. Selon la théorie du chaos, la complexité devient la règle et non l'exception.
Jusqu'alors, l'on considérait le monde actuel comme la conséquence de son passé et la cause de son futur, c'est ce que l'on appelle le déterminisme. Autrement dit, l'on pensait que si l'on connaissait tous les facteurs, et parfaitement les conditions initiales, tout serait prévisible. Prenons un exemple: la théorie déterministe implique que si je connais tous les facteurs, des plus importants aux plus minimes, et les convertis en équations linéaires, alors je peux prédire à quel endroit exactement tombera la feuille de papier pesant 0,14g allant à une allure de 5,38475km/h, lancé par un homme faisant 1m20, en prenant en compte la vitesse du vent, les obstacles de la feuille et bien sur une mouche qui s’écraserait sur la feuille, modifiant sa trajectoire, sa vitesse etc… Mais les conditions initiales sont non seulement d'une complexité infinie et la moindre modification de celles-ci peut entraîner des effets d'une ampleur impressionnante. Le système décrit plus haut est donc un système chaotique, il est régit par des règles d'une telle complexité qu'il devient impossible de prévoir quoi que ce soit.
Considérer tous ces facteurs non plus dans leur individualité par des équations linéaires, mais dans leur totalité sous un facteur englobant tous les autres, le « hasard ». C'est ce que propose la théorie du chaos.
Jusqu'alors, l'on considérait le monde actuel comme la conséquence de son passé et la cause de son futur, c'est ce que l'on appelle le déterminisme. Autrement dit, l'on pensait que si l'on connaissait tous les facteurs, et parfaitement les conditions initiales, tout serait prévisible. Prenons un exemple: la théorie déterministe implique que si je connais tous les facteurs, des plus importants aux plus minimes, et les convertis en équations linéaires, alors je peux prédire à quel endroit exactement tombera la feuille de papier pesant 0,14g allant à une allure de 5,38475km/h, lancé par un homme faisant 1m20, en prenant en compte la vitesse du vent, les obstacles de la feuille et bien sur une mouche qui s’écraserait sur la feuille, modifiant sa trajectoire, sa vitesse etc… Mais les conditions initiales sont non seulement d'une complexité infinie et la moindre modification de celles-ci peut entraîner des effets d'une ampleur impressionnante. Le système décrit plus haut est donc un système chaotique, il est régit par des règles d'une telle complexité qu'il devient impossible de prévoir quoi que ce soit.
Considérer tous ces facteurs non plus dans leur individualité par des équations linéaires, mais dans leur totalité sous un facteur englobant tous les autres, le « hasard ». C'est ce que propose la théorie du chaos.
L'ensemble de Mandelbrot
Benoît Mandelbrot est le créateur du célèbre "Ensemble de Mandelbrot" qui est sûrement la fractale la plus connue et la plus exploitée par les logiciels de conception de fractales. Cette fractale informatique et remarquable et présente une auto-similarité très poussée, c'est à dire que si l'on fait plusieurs zooms successifs, nous retrouvons la même structure cela même dans l'infiniment petit.
La suite qui la définie et sa représentation graphique usuelle sont fort complexes et c'est pour cela que nous n’approfondirons pas plus le sujet, relevant d'un niveau plus élevé en la matière:
Cette fractale est définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite récurrente définie par :
zn+1 = zn² + c avec z0 = 0 ne tend pas vers l'infini (en module).
Abordons le problème plus simplement en considérant seulement la partie réelle de l'ensemble. La formule prend alors la forme simplifiée:
X et C étant des nombres réels.
En prenant X0 = 0 nous aurons successivement :
x0=x1²+C
x1=x2²+C
...
Commençons par C = 0. X restera constamment nul quelque soit le nombre d'itérations. Avec C=1 , X croît indéfiniment : X1= 1, X2 = 2, X3 = 5, ... par définition, la suite des itérations conduisant à une valeur supérieure à 2 diverge, donc n'appartient pas à l’ensemble de Mandelbrot.
La suite qui la définie et sa représentation graphique usuelle sont fort complexes et c'est pour cela que nous n’approfondirons pas plus le sujet, relevant d'un niveau plus élevé en la matière:
Cette fractale est définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite récurrente définie par :
zn+1 = zn² + c avec z0 = 0 ne tend pas vers l'infini (en module).
Abordons le problème plus simplement en considérant seulement la partie réelle de l'ensemble. La formule prend alors la forme simplifiée:
X et C étant des nombres réels.
En prenant X0 = 0 nous aurons successivement :
x0=x1²+C
x1=x2²+C
...
Commençons par C = 0. X restera constamment nul quelque soit le nombre d'itérations. Avec C=1 , X croît indéfiniment : X1= 1, X2 = 2, X3 = 5, ... par définition, la suite des itérations conduisant à une valeur supérieure à 2 diverge, donc n'appartient pas à l’ensemble de Mandelbrot.
Comment l'a t-il crée ?
La valeur de C est une constante de l'ensemble des nombres complexes qu'il associa à un point de l'écran de son ordinateur. Pour chaque nombre complexe C associé à un pixel de son écran, il obtint une suite de nombres complexes. Il calcula le module de chacun des termes de la suite
| z0 | , | z1 | , | z2 | , | z3 | , | z4 | , ...
Lorsque la suite des modules ne tendait pas vers l'infini, le point C était considéré comme appartenant à l'espace recherché et était noirci. L'ensemble de Mandelbrot venait de naître.
Voici quelques zooms sur l’ensemble de Mandelbrot:
Voici quelques zooms sur l’ensemble de Mandelbrot: